Filtro Butterworth: filtro Butterworth passa baixa de primeira e segunda ordem

Os filtros elétricos têm muitas aplicações e são amplamente usados em muitos circuitos de processamento de sinais. É usado para escolher ou eliminar sinais de frequência selecionada em um espectro completo de uma determinada entrada. Assim, o filtro é usado para permitir que sinais de frequência escolhida passem por ele ou para eliminar sinais de frequência escolhida que passem por ele.

Atualmente, existem muitos tipos de filtros disponíveis e eles são diferenciados de várias maneiras. E cobrimos muitos filtros em tutoriais anteriores, mas a diferenciação mais popular é baseada em,

Analógico ou digital
Ativo ou passivo
Áudio ou radiofrequência
Seleção de frequência

Filtros analógicos ou digitais

Sabemos que os sinais gerados pelo ambiente são de natureza analógica, enquanto os sinais processados em circuitos digitais são de natureza digital. Temos que usar filtros correspondentes para sinais analógicos e digitais para obter o resultado desejado. Portanto, temos que usar filtros analógicos ao processar sinais analógicos e usar filtros digitais durante o processamento de sinais digitais.

Filtros ativos ou passivos

Os filtros também são divididos com base nos componentes usados ao projetar os filtros. Se o projeto do filtro for totalmente baseado em componentes passivos (como resistor, capacitor e indutor), então o filtro é chamado de filtro passivo. Por outro lado, se usarmos um componente ativo (amplificador operacional, fonte de tensão, fonte de corrente) ao projetar um circuito, o filtro é chamado de filtro ativo.

Mais popularmente, embora um filtro ativo seja preferível a um passivo, pois eles apresentam muitas vantagens. Algumas dessas vantagens são mencionadas abaixo:

Sem problema de carregamento: sabemos que em um circuito ativo usamos um amplificador operacional que tem impedância de entrada muito alta e impedância de saída baixa. Nesse caso, quando conectamos um filtro ativo a um circuito, a corrente consumida pelo amplificador operacional será muito insignificante, pois tem uma impedância de entrada muito alta e, portanto, o circuito não experimenta nenhuma carga quando o filtro é conectado.
Flexibilidade de ajuste de ganho: Em filtros passivos, o ganho ou amplificação do sinal não é possível, pois não haverá componentes específicos para realizar tal tarefa. Por outro lado, em um filtro ativo, temos op-amp que pode fornecer alto ganho ou amplificação de sinal para os sinais de entrada.
Flexibilidade de ajuste de frequência: Filtros ativos têm maior flexibilidade ao ajustar a frequência de corte quando comparados aos filtros passivos.

Filtros baseados em áudio ou frequência de rádio

Os componentes usados no projeto de mudanças de filtro dependendo da aplicação do filtro ou de onde a configuração é usada. Por exemplo, os filtros RC são usados para aplicações de áudio ou baixa frequência, enquanto os filtros LC são usados para aplicações de rádio ou alta frequência.

Filtros baseados na seleção de frequência

Os filtros também são divididos com base nos sinais que passam pelo filtro

Filtro passa-baixo:

Todos os sinais acima das frequências selecionadas são atenuados. Eles são de dois tipos - filtro passa-baixas ativo e filtro passa-baixas passivo. A resposta de freqüência do filtro passa-baixa é mostrada abaixo. Aqui, o gráfico pontilhado é o gráfico de filtro passa-baixo ideal e um gráfico limpo é a resposta real de um circuito prático. Isso aconteceu porque uma rede linear não pode produzir um sinal descontínuo. Conforme mostrado na figura, após os sinais atingirem a frequência de corte fH, eles experimentam atenuação e, após uma certa frequência mais alta, os sinais fornecidos na entrada ficam completamente bloqueados.

Filtro passa-alto:

Todos os sinais acima das frequências selecionadas aparecem na saída e um sinal abaixo dessa frequência é bloqueado. Eles são de dois tipos - filtro passa-altas ativo e filtro passa-altas passivo. A resposta de frequência de um filtro passa-altas é mostrada abaixo. Aqui, um gráfico pontilhado é o gráfico de filtro passa-alta ideal e um gráfico limpo é a resposta real de um circuito prático. Isso aconteceu porque uma rede linear não pode produzir um sinal descontínuo. Conforme mostrado na figura, até que os sinais tenham uma frequência superior à frequência de corte fL, eles experimentam atenuação.

Filtro passa-banda:

Nesse filtro, apenas os sinais da faixa de frequência selecionada podem aparecer na saída, enquanto os sinais de qualquer outra frequência são bloqueados. A resposta de frequência do filtro passa-banda é mostrada abaixo. Aqui, o gráfico pontilhado é o gráfico de filtro passa-banda ideal e um gráfico limpo é a resposta real de um circuito prático. Conforme mostrado na figura, os sinais na faixa de frequência de fL a fH podem passar pelo filtro enquanto os sinais de outras frequências sofrem atenuação. Saiba mais sobre o filtro Band Pass aqui.

Filtro de rejeição de banda:

A função de filtro de rejeição de banda é exatamente o oposto do filtro passa-banda. Todos os sinais de frequência com valor de frequência na faixa de banda selecionada fornecida na entrada são bloqueados pelo filtro enquanto os sinais de qualquer outra frequência podem aparecer na saída.

Filtro de passagem total:

Sinais de qualquer frequência podem passar por este filtro, exceto se experimentarem uma mudança de fase.

Com base na aplicação e no custo, o designer pode escolher o filtro apropriado entre vários tipos diferentes.

Mas aqui você pode ver nos gráficos de saída os resultados desejados e reais não são exatamente os mesmos. Embora esse erro seja permitido em muitos aplicativos, às vezes precisamos de um filtro mais preciso, cujo gráfico de saída tende mais para o filtro ideal. Essa resposta quase ideal pode ser alcançada usando técnicas especiais de design, componentes de precisão e amplificadores operacionais de alta velocidade.

Butterworth, Caur e Chebyshev são alguns dos filtros mais comumente usados que podem fornecer uma curva de resposta quase ideal. Neles, discutiremos o filtro Butterworth aqui, pois é o mais popular dos três.

Os principais recursos do filtro Butterworth são:

É um filtro baseado em RC (resistor, capacitor) e Op-amp (amplificador operacional)
É um filtro ativo, então o ganho pode ser ajustado se necessário
A principal característica da Butterworth é que ela tem uma banda passante plana e uma banda de parada plana. Esta é a razão pela qual é normalmente chamado de 'filtro plano'.

Agora vamos discutir o modelo de circuito do filtro Low Pass Butterworth para uma melhor compreensão.

Filtro Butterworth passa baixa de primeira ordem

A figura mostra o modelo do circuito do filtro passa-baixo Butter worth de primeira ordem.

No circuito temos:

Tensão 'Vin' como um sinal de tensão de entrada que é analógico por natureza.
Tensão 'Vo' é a tensão de saída do amplificador operacional.
Os resistores 'RF' e 'R1' são os resistores de feedback negativo do amplificador operacional.
Há uma única rede RC (marcada no quadrado vermelho) presente no circuito, portanto, o filtro é um filtro passa-baixo de primeira ordem
'RL' é a resistência de carga conectada na saída do amplificador operacional.

Se usarmos a regra do divisor de tensão no ponto 'V1', então podemos obter a tensão através do capacitor como, V ₁ = V _em Aqui -jXc = 1 / 2ᴫfc

Após a substituição desta equação teremos algo como abaixo

V ₁ = Vi _n / (1 + j2ᴫfRC)

Agora, o op-amp aqui usado na configuração de feedback negativo e, para tal caso, a equação da tensão de saída é dada como, V ₀ = (1 + _RF / R ₁) V _1.

Esta é uma fórmula padrão e você pode examinar os circuitos do amplificador operacional para obter mais detalhes.

Se enviarmos a equação V1 em Vo, teremos, V0 = (1 + R _F / R ₁)

Depois de reescrever esta equação, podemos ter, V ₀ / V _in = A _F / (1 + j (f / f _L))

Nesta equação,

V ₀ / V _in = ganho do filtro em função da frequência
AF = (1 + R _F / R ₁) = ganho de banda passante do filtro
f = frequência do sinal de entrada
f _L = 1 / 2ᴫRC = frequência de corte do filtro. Podemos usar esta equação para escolher os valores apropriados do resistor e do capacitor para selecionar a frequência de corte do circuito.

Se convertermos a equação acima em uma forma polar, teremos,

Podemos usar esta equação para observar a mudança na magnitude do ganho com a mudança na frequência do sinal de entrada.

Caso1: f < eu . Então, vamos considerar que a frequência de entrada é muito menor do que a frequência de corte do filtro,

Portanto, quando a frequência de entrada é muito menor do que a frequência de corte do filtro, a magnitude do ganho é aproximadamente igual ao ganho de loop do amplificador operacional.

Caso 2: f = f _L. Se a frequência de entrada for igual à frequência de corte do filtro, então,

Portanto, quando a frequência de entrada é igual à frequência de corte do filtro, a magnitude do ganho é 0,707 vezes o ganho do loop do amplificador operacional.

Case3: f> f _L. Se a frequência de entrada for maior do que a frequência de corte do filtro, então,

Como você pode ver no padrão, o ganho do filtro será igual ao ganho do amplificador operacional até que a frequência do sinal de entrada seja menor que a frequência de corte. Mas, uma vez que a frequência do sinal de entrada atinge a frequência de corte, o ganho diminui marginalmente, como visto no caso dois. E conforme a frequência do sinal de entrada aumenta ainda mais, o ganho diminui gradualmente até chegar a zero. Portanto, o filtro passa-baixo Butterworth permite que o sinal de entrada apareça na saída até que a frequência do sinal de entrada seja inferior à frequência de corte.

Se desenharmos o gráfico de resposta de frequência para o circuito acima, teremos,

Como pode ser visto no gráfico, o ganho será linear até que a frequência do sinal de entrada cruze o valor da frequência de corte e, uma vez que isso aconteça, o ganho diminui consideravelmente, assim como o valor da tensão de saída.

Filtro passa-baixo Butterworth de segunda ordem

A figura mostra o modelo do circuito do filtro passa-baixo Butterworth de 2ª ordem.

No circuito temos:

Tensão 'Vin' como um sinal de tensão de entrada que é analógico por natureza.
Tensão 'Vo' é a tensão de saída do amplificador operacional.
Os resistores 'RF' e 'R1' são os resistores de feedback negativo do amplificador operacional.
Há uma rede RC dupla (marcada em um quadrado vermelho) presente no circuito, portanto, o filtro é um filtro passa-baixa de segunda ordem.
'RL' é a resistência de carga conectada na saída do amplificador operacional.

Derivação do filtro Low Pass Butterworth de segunda ordem

Os filtros de segunda ordem são importantes porque os filtros de ordem superior são projetados com eles. O ganho do filtro de segunda ordem é definido por R1 e RF, enquanto a frequência de corte f _H é determinada pelos valores de R ₂, R ₃, C ₂ e C ₃. A derivação para a frequência de corte é dada como segue, f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2

A equação de ganho de tensão para este circuito também pode ser encontrada de forma semelhante a antes e esta equação é dada abaixo

Nesta equação,

V ₀ / V _in = ganho do filtro em função da frequência
A _F = (1 + R _F / R ₁) ganho de banda passante do filtro
f = frequência do sinal de entrada
f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2 = frequência de corte do filtro. Podemos usar esta equação para escolher os valores apropriados do resistor e do capacitor para selecionar a frequência de corte do circuito. Além disso, se escolhermos o mesmo resistor e capacitor na rede RC, a equação se torna,

Podemos usar a equação de ganho de tensão para observar a mudança na magnitude do ganho com a mudança correspondente na frequência do sinal de entrada.

Caso1: f < H . Então, vamos considerar que a frequência de entrada é muito menor do que a frequência de corte do filtro,

Portanto, quando a frequência de entrada é muito menor do que a frequência de corte do filtro, a magnitude do ganho é aproximadamente igual ao ganho de loop do amplificador operacional.

Caso 2: f = f _H. Se a frequência de entrada for igual à frequência de corte do filtro, então,

Portanto, quando a frequência de entrada é igual à frequência de corte do filtro, a magnitude do ganho é 0,707 vezes o ganho do loop do amplificador operacional.

Case3: f> f _H. Se a frequência de entrada for realmente maior do que a frequência de corte do filtro,

Semelhante ao filtro de primeira ordem, o ganho do filtro será igual ao ganho do amplificador operacional até que a frequência do sinal de entrada seja menor do que a frequência de corte. Mas, uma vez que a frequência do sinal de entrada atinge a frequência de corte, o ganho diminui marginalmente, como visto no caso dois. E conforme a frequência do sinal de entrada aumenta ainda mais, o ganho diminui gradualmente até chegar a zero. Portanto, o filtro passa-baixo Butterworth permite que o sinal de entrada apareça na saída até que a frequência do sinal de entrada seja inferior à frequência de corte.

Se desenharmos o gráfico de resposta de frequência para o circuito acima, teremos,

Agora você deve estar se perguntando onde está a diferença entre o filtro de primeira ordem e o filtro de segunda ordem ? A resposta está no gráfico, se você observar cuidadosamente, poderá ver que depois que a frequência do sinal de entrada cruza a frequência de corte, o gráfico obtém uma queda acentuada e essa queda é mais aparente na segunda ordem em comparação com a primeira. Com esta inclinação acentuada, o filtro Butterworth de segunda ordem será mais inclinado para o gráfico de filtro ideal quando comparado a um filtro Butterworth de ordem única.

Este é o mesmo para o filtro passa-baixo Butterworth de terceira ordem, filtro passa-baixo Butterworth de quarta ordem e assim por diante. Quanto mais alta a ordem do filtro, mais o gráfico de ganho se inclina para um gráfico de filtro ideal. Se desenharmos o gráfico de ganho para filtros Butterworth de ordem superior, teremos algo assim,

No gráfico, a curva verde representa a curva de filtro ideal e você pode ver como a ordem do filtro Butterworth aumenta seu gráfico de ganho se inclina mais em direção à curva ideal. Quanto maior a ordem do filtro Butterworth escolhido, mais ideal será a curva de ganho. Com isso dito, você não pode escolher um filtro de ordem superior facilmente, pois a precisão do filtro diminui com o aumento da ordem. Portanto, é melhor escolher a ordem de um filtro, observando a precisão necessária.

Derivação de filtro Butterworth de passagem baixa de segunda ordem -Aliter

Após a publicação do artigo, recebemos um e-mail de Keith Vogel, que é engenheiro elétrico aposentado. Ele notou um erro amplamente divulgado na descrição de um filtro passa-baixo de ^2ª ordem e ofereceu sua explicação para corrigi-lo, que é a seguinte.

Então, deixe-me entender também:

E então vá dizer que a frequência de corte de -6db é descrita pela equação:

f _c = 1 / (

)

No entanto, isso simplesmente não é verdade! Vamos fazer você acreditar em mim. Vamos fazer um circuito onde R1 = R2 = 160 e C1 = C2 = 100nF (0,1uF). Dada a equação, devemos ter uma frequência de -6db de:

f _c = 1 / (

) = 1 / (2

* 160 * 100 * 10 ^-9) ~ 9,947 kHz

Vamos simular o circuito e ver onde está o ponto -6db:

Oh, ele simula 6,33kHz, NÃO 9,947kHz; mas a simulação NÃO ESTÁ ERRADA!

Para sua informação, usei -6,0206db em vez de -6db porque 20log (0,5) = -6,0205999132796239042747778944899, -6,0206 é um número um pouco mais próximo do que -6, e para obter uma frequência simulada mais precisa para nossas equações, eu queria usar algo um pouco mais próximo do que apenas -6db. Se eu realmente quisesse atingir a frequência delineada pela equação, precisaria fazer um buffer entre o ^1º e o ^2º estágios do filtro. Um circuito mais preciso para nossa equação seria:

E aqui vemos que nosso ponto de -6,0206db simula para 9,945kHz, muito mais perto de nosso calculado de 9,947kHZ. Esperançosamente, você acredita que há um erro! Agora vamos falar sobre como o erro ocorreu e por que isso é apenas engenharia ruim.

A maioria das descrições irá começar com um 1 ^r filtro passa-baixo de ordem, com a impedância da seguinte forma.

E você obtém uma função de transferência simples de:

H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)

Então, eles dizem que se você simplesmente colocar 2 deles juntos para fazer um filtro de ^2ª ordem, você obtém:

H (s) = H ₁ (s) * H ₂ (s).

Onde H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

Que quando calculado resultará na equação fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Aqui está o erro, a resposta de H ₁ (s) NÃO é independente de H ₂ (s) no circuito, você não pode dizer H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1).

A impedância de H ₂ (s) afeta a resposta de H ₁ (s). E então porque este circuito funciona, porque o opamp isola H ₂ (s) de H ₁ (s)!

Portanto, agora vou analisar o seguinte circuito. Considere nosso circuito original:

Para simplificar, vou fazer R1 = R2 e C1 = C2, caso contrário, a matemática fica muito complicada. Mas devemos ser capazes de derivar a função de transferência real e compará-la com nossas simulações para validação quando terminarmos.

Se dissermos, Z ₁ = 1 / sC em paralelo com (R + 1 / sC), podemos redesenhar o circuito como:

Sabemos que V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁); Onde Z ₁ pode ser uma impedância complexa. E se voltarmos ao nosso circuito original, podemos ver Z ₁ = 1 / sC em paralelo com (R + 1 / sC)

Também podemos ver que Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1), que é H ₂ (s). Mas H ₁ (s) é muito mais complexo, é Z ₁ / (R + Z ₁) onde Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC); e NÃO é 1 / (sRC + 1)!

Portanto, agora vamos trabalhar a matemática para o nosso circuito; para o caso especial de R1 = R2 e C1 = C2.

Nós temos:

V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁) Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) ² R + 2sC) Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1)

E finalmente

Vo / V _in = * = * = * = * = *

Aqui podemos ver que:

H ₁ (s) = (sRC + 1) / ((sCR) ² + 3sRC + 1)…

não 1 / (SRC + 1) H ₂ (s) = 1 / (SRC + 1)

E..

Vo / V _in = H ₁ (s) * H ₂ (s) = * = 1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1)

Sabemos que o ponto -6db é (

/ 2) ² = 0,5

E sabemos que quando a magnitude de nossa função de transferência está em 0,5, estamos na frequência de -6 db.

Então, vamos resolver isso:

-Vo / V _in - = -1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5

Seja s = jꙍ, temos:

-1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) ²) + 3jꙍRC- = 2

Para encontrar a magnitude, tire a raiz quadrada do quadrado dos termos reais e imaginários.

sqrt (((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ²) = 2

quadratura de ambos os lados:

((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ² = 4

Expandindo:

1 - 2 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ + 9 (ꙍRC) ² = 4

1 + 7 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² + 1 = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² - 3 = 0

Seja x = (ꙍRC) ²

(x) ² + 7x - 3 = 0

Usando a equação quadrática para resolver para x