- 1. Lei de Gauss da Eletricidade
- 2. Lei do magnetismo de Gauss
- 3. Lei da Indução de Faraday
- 4. Lei de Ampère
As equações de Maxwell são os fundamentos da teoria eletromagnética, que constitui um conjunto de quatro equações relacionando os campos elétrico e magnético. Em vez de listar a representação matemática das equações de Maxwell, vamos nos concentrar em qual é o significado real dessas equações neste artigo. A primeira e segunda equação de Maxwell lida com campos elétricos estáticos e campos magnéticos estáticos, respectivamente. A Terceira e Quarta equação de Maxwell trata da variação dos campos magnéticos e da variação dos campos elétricos, respectivamente.
As equações de Maxwell são:
- Lei da Eletricidade de Gauss
- Lei do magnetismo de Gauss
- Lei da Indução de Faraday
- Lei de Ampère
1. Lei de Gauss da Eletricidade
Esta lei afirma que o Fluxo Elétrico de uma superfície fechada é proporcional à carga total envolvida por essa superfície. A lei de Gauss trata do campo elétrico estático.
Vamos considerar uma carga pontual positiva Q. Sabemos que as linhas de fluxo elétrico são direcionadas para fora da carga positiva.
Vamos considerar uma superfície fechada com a Carga Q encerrada nela. O vetor de área é sempre escolhido como Normal porque representa a orientação da superfície. Seja o ângulo formado pelo vetor campo elétrico com o vetor área θ.
O Fluxo Elétrico ψ é
A razão para escolher o produto escalar é que precisamos calcular quanto fluxo elétrico passa pela superfície representada por um vetor de área normal.
Pela lei dos coulombs, sabemos que o Campo Elétrico (E) devido a uma carga pontual é Q / 4πε 0 r 2.
Considerando uma simetria esférica, a forma integral da lei de Gauss é:
Portanto, o Fluxo Elétrico Ψ = Q incluído / ε 0
Aqui, o Q incluído representa a soma vetorial de todas as cargas no interior da superfície. A região que envolve a carga pode ter qualquer forma, mas para aplicar a lei de Gauss, temos que selecionar uma superfície gaussiana que seja simétrica e tenha distribuição de carga uniforme. A superfície gaussiana pode ser cilíndrica ou esférica ou plana.
Para derivar sua forma diferencial, precisamos aplicar o teorema da divergência.
A equação acima é a forma diferencial da Lei de Gauss ou equação I de Maxwell.
Na equação acima, ρ representa a densidade de carga de volume. Quando temos que aplicar a lei de Gauss a uma superfície com uma carga linear ou distribuição de carga superficial, é mais conveniente representar a equação com densidade de carga.
Portanto, podemos inferir que a Divergência de um campo elétrico sobre uma superfície fechada dá a quantidade de carga (ρ) envolvida por ele. Aplicando divergência a um campo vetorial, podemos saber se a superfície delimitada pelo campo vetorial está atuando como fonte ou sumidouro.
Vamos considerar um cuboide com carga positiva como mostrado acima. Quando aplicamos divergência ao campo elétrico que sai da caixa (cubóide), o resultado da expressão matemática nos diz que a caixa (cubóide) considerada atua como fonte para o campo elétrico calculado. Se o resultado for negativo, isso nos diz que a caixa atua como um sumidouro, ou seja, a caixa contém uma carga negativa. Se a divergência for Zero, significa que não há cobrança.
A partir disso, podemos inferir que existem monopolos elétricos.
2. Lei do magnetismo de Gauss
Sabemos que a linha de fluxo magnético flui do polo norte ao polo sul externamente.
Uma vez que existem linhas de fluxo magnético devido a um ímã permanente, haverá uma densidade de fluxo magnético associada (B) a ele. Quando aplicamos o teorema da divergência à superfície S1, S2, S3 ou S4, vemos que o número de linhas de fluxo entrando e saindo da superfície selecionada permanece o mesmo. Portanto, o resultado do teorema da divergência é Zero. Mesmo na superfície S2 e S4, a divergência é zero, o que significa que nem o pólo norte nem o pólo sul individualmente atuam como fonte ou sumidouro como as cargas elétricas. Mesmo quando aplicamos divergência do campo magnético (B) devido a um fio condutor de corrente, ele acaba sendo zero.
A forma integral da lei do magnetismo de Gauss é:
A forma diferencial da lei do magnetismo de Gauss é:
A partir disso, podemos inferir que não existem monopolos magnéticos.
3. Lei da Indução de Faraday
A lei de Faraday afirma que quando há uma mudança no fluxo magnético (mudança com relação ao tempo) ligando uma bobina ou qualquer condutor, haverá um EMF induzido na bobina. Lenz afirmou que o EMF induzido será em uma direção tal que se opõe à mudança no fluxo magnético que o produz.
Na ilustração acima, quando uma placa condutora ou um condutor é colocado sob a influência de um campo magnético variável, a corrente circulante é induzida nele. A corrente é induzida em tal direção que o campo magnético produzido por ela se opõe à mudança magnética que a criou. A partir desta ilustração, fica claro que a mudança ou variação do campo magnético cria um campo elétrico circulante.
Da lei de Faraday, emf = - dϕ / dt
Nós sabemos isso, ϕ = superfície fechada ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Campo elétrico E = V / d
V = ʃ E.dl
Uma vez que o campo elétrico está mudando em relação à superfície (ondulação), existe uma diferença de potencial V.
Portanto, a forma integral da quarta equação de Maxwell é,
Ao aplicar o teorema de Stoke,
A razão para aplicar o teorema de Stoke é que, quando pegamos uma curva de um campo rotativo sobre uma superfície fechada, as componentes da curva interna do vetor se cancelam e isso resulta na avaliação do campo vetorial ao longo do caminho fechado.
Portanto, podemos escrever isso,
A forma diferencial da equação de Maxwell é
A partir da expressão acima, é claro que um campo magnético mudando com respeito ao tempo produz um campo elétrico circulante.
Nota: Em eletrostática, a curvatura de um campo elétrico é zero porque ele emerge radialmente para fora da carga e não há nenhum componente rotativo associado a ele.
4. Lei de Ampère
A lei de Ampère afirma que, quando uma corrente elétrica flui por um fio, ela produz um campo magnético ao seu redor. Matematicamente, a integral de linha do campo magnético em torno de um circuito fechado fornece a corrente total envolvida por ele.
ʃ B .dl = μ 0 I incluído
Como o campo magnético se enrola ao redor do fio, podemos aplicar o teorema de Stoke à lei de Ampère.
Portanto, a equação se torna
Podemos representar a corrente incluída em termos de densidade de corrente J.
B = μ 0 H usando esta relação, podemos escrever a expressão como
Quando aplicamos divergência à curvatura de um campo vetorial em rotação, o resultado é zero. É porque a superfície fechada não atua como uma fonte ou sumidouro, ou seja, o número de fluxo que entra e sai da superfície é o mesmo. Isso pode ser representado matematicamente como,
Vamos considerar um circuito conforme ilustrado abaixo.
O circuito tem um capacitor conectado a ele. Quando aplicamos divergência na região S1, o resultado mostra que ela é diferente de zero. Em notação matemática,
Há um fluxo de corrente no circuito, mas no capacitor, as cargas são transferidas devido à mudança do campo elétrico nas placas. Então, fisicamente, a corrente não flui através dele. Maxwell cunhou esse fluxo elétrico variável como Corrente de Deslocamento (J D). Mas Maxwell cunhou o termo Corrente de Deslocamento (J D) considerando a simetria da lei de Faraday, isto é, se um campo magnético mudando no tempo produz um campo elétrico, então, por simetria, mudando o campo elétrico produz um campo magnético.
A onda de intensidade do campo magnético (H) na região S1 é
A forma integral da quarta equação de Maxwell pode ser expressa como:
A forma diferencial da quarta equação de Maxwell é:
Todas essas quatro equações na forma integral ou na forma diferencial juntas são chamadas de Equação de Maxwell.